Question

已知函数f（x）=x²-alnx（常数a＞0），g（x）=e^x-x．
（1）证明：e^a＞a；
（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，e^a）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

Answer

（1）求出g′（x）=ex-1令其等于零找出函数的稳定点，得到当x＞0时，g′（x）=ex-1＞0，推出g（x）在[0，+∞）上是增函数，因为a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0即ea-a＞0，得证即可；
（2）利用函数的导数研究函数的单调性，求出函数的最值．判断出最大值大于0，最小值小于零，则最值之间有零点．找出零点个数即可．
（1）证明：得g′（x）=ex-1，令g′（x）=0得到x=0
当x＞0时，g′（x）=ex-1＞1-1=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0．
所以，ea-a＞0，即ea＞a．
（2）【解析】
因为=．
当时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴．
又由（1）得，
且当a＞2e时，，有．
而f（1）=1＞0，f（ea）=e2a-a2=（ea-a）（ea+a）＞0，
当a＞2e时，，
所以，当a＞2e时，函数f（x）在（1，ea）上有两个零点．