Question

（1）已知函数f（x）=-x²+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点．
①试求直线PQ的斜率k_PQ的取值范围；
②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围；
（2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合M_D是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x₁，x₂∈D，（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于M_D，若属于M_D，给予证明，否则说明理由；
②当，函数f（x）=x³+ax+b时，若f（x）∈M_D，求实数a的取值范围．

Answer

（1）①设P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））由斜率公式用两点坐标表示出，再根据定义域求范围．
②求出导函数的值域，即为割线的斜率的取值范围．
（2）得出结论，函数y=f（x）图象上任意两点P、Q连线的斜率的取值范围，
就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围；对于①解出导函数，当x∈（0，1），导数大于1，由（1）的结论，这与|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|矛盾，f（x）=lnx∉MD．对于②解出导函数由定义域知a＜f′（x）＜1+a．若f（x）∈MD，则可根据定义得出关于a的不等式组，解之，有解既得实数a的取值范围．
【解析】
（1）=1 ①设P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是f（x）图象上的任意两点（x1≠x2），则，
由x1，x2∈（-1，2），知-（x1+x2）∈（-4，2），
∴直线PQ的斜率kPQ的取值范围是（-4，2）；
②由f′（x）=-2x，x∈（-1，2），得f′（x）∈（-4，2），
∴f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围是（-4，2）；
（2）由（1）得：函数y=f（x）图象上任意两点P、Q连线的斜率的取值范围，
就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围（其实由导数的定义可得）．
①∵，∴若x∈（0，1），f′（x）＞1⇒|f′（x）|＞1，
∴，当x1，x2∈（0，1）时，f（x）=lnx∉MD．
②由f（x）=x3+ax+b⇒f′（x）=3x2+a，当时，
a＜f′（x）＜1+a．∵f（x）∈MD，
∴，
∴，得-1≤a≤0．
∴实数a的取值范围是[-1，0]．