Question

某高校最近出台一项英语等级考试规定；每位考试者两年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取证书，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果小明决定参加等级考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.9，
（1）求小明在两年内领到证书的概率；
（2）求在两年内小明参加英语等级考试次数ξ的分布列和ξ的期望．

Answer

（1）小明在两年内领到证书的概率，等于1减去它的对立事件的概率．其对立事件为：小明在两年内的4此考试中都没有
通过，概率为 （1-0.5）（1-0.6）（1-0.7）（1-0.9）．
（2）ξ的取值分别为1，2，3，4．再求出ξ取每个值的概率，即得试次数ξ的分布列，再由分布列求ξ 的期望Eξ．
【解析】
（1）小明在两年内领到证书的概率为P=1-（1-0.5）（1-0.6）（1-0.7）（1-0.9）=0.994．
（2）ξ的取值分别为1，2，3，4．
ξ=1，表明小明第一次参加英语等级考试就通过了，
故P（ξ=1）=0.5．
ξ=2，表明小明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P（ξ=2）=（1-0.5）×0.6=0.30
过，第三次通过了，故
P（ξ=3）=（1-0.5）×（1-0.6）×0.7=0.14
P（ξ=4=（1-0.5）×（1-0.6）×（1-0.7）=0.06
试次数ξ的分布列为：

∴ξ的期望Eξ=1×0.5+2×0.30+3×0.14+4×0.06=1.76．