Question

如图，已知△ABD是等腰直角三角形，∠D=90°，BD=．现将△ABD沿斜边的中线DC折起，使二面角A-DC-B为直二面角，E是线段AD的中点，F是线段AC上的一个动点（不包括A）．
（1）确定F的位置，使得平面ABD⊥平面BEF；
（2）当直线BD与直线EF所成的角为60°时，求证：平面ABD⊥平面BEF．

Answer

（1）以C为原点，分别以CB、CD、CA为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，根据•=0，可知AD⊥BE，根据面ABD与面BEF垂直的性质定理可知AD⊥面BEF，则AD⊥EF，即，即可得到F点与C点重合时满足条件；
（2）根据=求出z，由F是线段AC上（不包括A、C）的点得z=0，从而F点与C点重合，则AD⊥EF，从而得到结论．
证明：（1）由已知二面角A-DC-B为直二面角，又AC⊥CD，
∴AC⊥面BCD
在Rt△ACD中，CD=1，∠ADC=45°，
∴AC=1．
以C为原点，分别以CB、CD、CA为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，1）．
∵E为AD中点，
∴E（0，，），
∵，
∴AD⊥BE．
若面ABD⊥面BEF，则AD⊥面BEF，则AD⊥EF，即，
设F（0，0，z），则（0，1，-1）•（0，-，z-）=0，
∴（-）•1+（-1）•（z-）=0⇒z=0，
∴F点坐标为（0，0，0），即F点与C点重合时，平面ABD⊥平面BEF．
（2）由（1）知
=解得z=0或z=1，由F是线段AC上（不包括A、C）的点得z=0
∴F点坐标为（0，0，0），即F点与C点重合，
∴AD⊥EF，
又BC⊥AD
∴平面ABD⊥平面BEF