Question

设f（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数且在（-∞，0）上为增函数．
（1）若m•n＜0，m+n≤0，求证：f（m）+f（n）≤0；
（2）若f（1）=0，解关于x的不等式f（x²-2x-2）＞0．

Answer

（1）根据m•n＜0，m+n≤0可推知m、n一正一负．可设m＞0，n＜0，则可知n≤-m＜0，根据函数为奇函数可推知f（-m）=-f（m），再根据函数在（-∞，0）上为增函数判断-m和n的大小进而证明结论．
（2）先根据函数的奇偶性求出f（-1）=0，进而根据函数的单调性分别看x2-2x-2＞0和x2-2x-2＜0时f（x2-2x-2）＞0的解集，最后取并集得出答案．
（1）证明∵m•n＜0，m+n≤0，∴m、n一正一负．
不妨设m＞0，n＜0，则n≤-m＜0．取n=-m＜0，
∵函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，则f（n）=f（-m）；取n＜-m＜0，同理
f（n）＜f（-m）∴f（n）≤f（-m）．又函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数，
∴f（-m）=-f（m）．∴f（n）+f（m）≤0．
（2）解∵f（1）=0，f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数，∴f（-1）=0，
∴原不等式可化为或．
易证：f（x）在（0，+∞）上为增函数．
∴或．∴x2-2x-3＞0或．
解得x＞3或x＜-1或．∴不等式的解集为
（-∞，-1）∪（1-，1-）∪（1+，1+）∪（3，+∞）．