Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k（P）和k（Q）；
（2）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，证明：；
（3）求k（A）的最小值．

Answer

（1）由题意知k（P）=5，k（Q）=6
（2）ai+aj（1≤i＜j≤n）共有个．所以．然后利用题设条件证明所有ai+aj（1≤i＜j≤n）各不相同．
（3）设a1＜a2＜＜an，所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an-1+an．由此能够推出k（A）的最小值2n-3．
【解析】
（1）由题意知K（P）中的值有6，8，10，12和14五个值，∴k（P）=5，
K（Q）中的值有6，10，18，12，20，24，∴k（Q）=6
（2）证明：ai+aj（1≤i＜j≤n）共有个
所以
下面证明所有ai+aj（1≤i＜j≤n）各不相同
任取ai+aj和ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n）
当j=l时，若ai+aj=ak+al，则ai=ak，矛盾
当j≠l时，若ai+aj=ak+al，则ai+aj＜2aj=2j+1≤al＜ak+al
即ai+aj≠ak+al
所以所有ai+aj（1≤i＜j≤n）各不相同，所以
（3）不妨设a1＜a2＜＜an，
所以a1+a2＜a1+a3＜＜a1+an＜a2+an＜＜an-1+an
所以ai+aj（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3个不同的数，即k（A）≥2n-3
取A={1，2，3，n}，则ai+aj∈{3，4，5，••，2n-1}共2n-3个
所以k（A）的最小值2n-3