Question

已知函数f（x）=xe^-x（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明x₁+x₂＞2．

Answer

（1）先求导求出导数为零的值，通过列表判定导数符号，确定出单调性和极值．
（2）先利用对称性求出g（x）的解析式，比较两个函数的大小可将它们作差，研究新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可证得．
（3）通过题意分析先讨论，可设x1＜1，x2＞1，利用第二问的结论可得f（x2）＞g（x2），根据对称性将g（x2）换成f（2-x2），再利用单调性根据函数值的大小得到自变量的大小关系．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
f′（x）=（1-x）e-x
令f′（x）=0，解得x=1
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表

所以f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数．
函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=．

（Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2-x），得g（x）=（2-x）ex-2
令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=xe-x+（x-2）ex-2
于是F'（x）=（x-1）（e2x-2-1）e-x
当x＞1时，2x-2＞0，从而e2x-2-1＞0，又e-x＞0，所以f′（x）＞0，从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数．
又F（1）=e-1-e-1=0，所以x＞1时，有f（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）．

（Ⅲ）证明：（1）若（x1-1）（x2-1）=0，由（I）及f（x1）=f（x2），则x1=x2=1．与x1≠x2矛盾．
（2）若（x1-1）（x2-1）＞0，由（I）及f（x1）=f（x2），得x1=x2．与x1≠x2矛盾．
根据（1）（2）得（x1-1）（x2-1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1．
由（Ⅱ）可知，f（x2）＞g（x2），
则g（x2）=f（2-x2），
所以f（x2）＞f（2-x2），
从而f（x1）＞f（2-x2）．
因为x2＞1，所以2-x2＜1，
又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（-∞，1）内是增函数，
所以x1＞2-x2，即x1+x2＞2．