Question

如图，ABB₁A₁是圆台的轴截面，O₁、O分别是上下底面圆的圆心，A₁O₁=1，AO=2，母线与底面成60°角，点C在底面圆周上，且，求：
（1）圆台的侧面积和体积；
（2）异面直线A₁C与OO₁所成的角的正切值．

Answer

（1）要求侧面积，则需求母线长，要求体积，则需求高，所以A1D⊥AO易知A1D垂直圆台底面，所以∠A1AD为母线与底面所成的角，于是在Rt△A1AD中求得母线和高，再由侧面积公式和体积公式求解．
（2）由（1）易知A1D∥OO1，连接CD，可知∠CA1D就是异面直线A1C与OO1所成的角，再求得CD即可．
【解析】
（1）由已知A1O1=1，AO=2，作A1D⊥AO于点D，则AD=AO-A1O1=1，
因为轴截面ABB1A1垂直于圆台底面，所以A1D垂直圆台底面，
所以∠A1AD=60°，（3分）
于是在Rt△A1AD中，得A1A=2，，
即圆台的母线长为2，高为．（5分）
所以圆台的侧面积为S=π（1+2）×2=6π，
圆台的体积为．（8分）
（2）由（1）可知A1D∥OO1，连接CD，
则∠CA1D就是异面直线A1C与OO1所成的角，（10分）
因为AO=CO=2，，
所以∠AOC=90°，
又AD=DO=1，所以在Rt△COD中可得，
所以．（13分）