Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=60°，点B为DE中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）设二面角A₁-BC-A的大小为α，直线AC与平面A₁BC所成的角为β，求sin（α+β）的值．

Answer

（1）要证明平面A1BC⊥平面A1ABB1，关键是要在一个平面内找到一条与另外一个平面垂直的直线，我可们以利用已知，证明AB⊥BC，AA1⊥BC，根据已知条件，我们有两种思路证明线线垂直的办法，进而根据线面垂直的判定定理，得到BC垂直平面A1ABB1．再由面面垂直的判定定理得到结论；
（2）由（Ⅰ）可知A1B⊥BC，AB⊥BC即∠A1BA为二面角A1-BC-A的平面角，即∠A1BA=α，由平面A1BC⊥平面A1ABB1，且平面A1BC∩平面A1ABB1=A1B，得AF⊥平面A1BC，即∠ACD为直线AC与平面A1BC所成的角，即∠ACD=β．求出α、β的三角函数值后，利用两角和的正弦公式即可得到答案，而求α、β有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是建立空间坐标系，利用空间向量求解．
（Ⅰ）证法一：在平行四边形ACDE中，
∵AE=2，AC=4，∠E=60°，点B为DE中点．
∴∠ABE=60°，∠CBD=30°，从而∠ABC=90°，即AB⊥BC．
又AA1⊥面ABC，BC⊂面ABC
∴AA1⊥BC，而AA1∩AB=A，
∴BC⊥平面A1ABB1．
∵BC⊂平面A1BC
∴平面A1BC⊥平面A1ABB1
证法二、∵AE=2，AC=4，∠E=60°，点B为DE中点．
∴AB=2，，AB2+BC2=16=AC2，
∴AB⊥BC．
又AA1⊥面ABC，BC⊂面ABC，
∴AA1⊥BC，而AA1∩AB=A，
∴BC⊥平面A1ABB1
∵BC⊂平面A1BC，
∴平面A1BC⊥平面A1ABB1．
（Ⅱ）方法一、由（Ⅰ）可知A1B⊥BC，AB⊥BC
∴∠A1BA为二面角A1-BC-A的平面角，即∠A1BA=α，
在Rt△A1AB中，，．
以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，
其中A1（0，0，4），，C（0，4，0），，，，
设为平面A1BC的一个法向量，则，∴即

令y=1，得平面A1BC的一个法向量，则，
又，∴，
∴，
即sin（α+β）=1．（12分）
方法二、由（Ⅰ）可知A1B⊥BC，AB⊥BC
∴∠A1BA为二面角A1-BC-A的平面角，即∠A1BA=α，
在Rt△A1AB中，，，．
过点A在平面A1ABB1内作AF⊥A1B于F，连接CF，
则由平面A1BC⊥平面A1ABB1，且平面A1BC∩平面A1ABB1=A1B，得AF⊥平面A1BC
∴∠ACF为直线AC与平面A1BC所成的角，即∠ACF=β．
在Rt△ACF中，，，．
∴，
即sin（α+β）=1．