Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=，∠ABC=60°．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

Answer

（1）欲证AB⊥A1C，而A1C⊂平面ACC1A1，可先证AB⊥平面ACC1A1，根据三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，可知AB⊥AA1，由正弦定理得AB⊥AC，满足线面垂直的判定定理所需条件；
（2）作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，则∠ADB为二面角A-A1C-B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A-A1C-B的余弦值即可．
【解析】
（1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1，在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，
∴AB⊥平面ACC1A1，
又A1C⊂平面ACC1A1，
∴AB⊥A1C．
（2）如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，
由三垂线定理知BD⊥A1C，
∴∠ADB为二面角A-A1C-B的平面角．
在Rt△AA1C中，AD===，
在Rt△BAD中，tan∠ADB==，
∴cos∠ADB=，
即二面角A-A1C-B的余弦值为．