Question

已知数列{a_n}中，S_n是其前n项和，若a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，且a_n+1a_n+2≠1，则a₁+a₂+a₃=    ，S₂₀₁₀=    ．

Answer

由a1=1，a2=2和后面的等式可知第三项是3，得到第一个结论，我们这样考虑，当第二、三项是2、3时，第四项又是1，当第三、四项是3、1时，第五项又是2，以此类推，可知数列是周期为3的数列，结果可得．
【解析】
∵a1=1，a2=2，anan+1an+2=an+an+1+an+2，
∴a3=3，
∴a1+a2+a3=6，
∵a2=2，a3=3，anan+1an+2=an+an+1+an+2，
∴a4=1，
以此类推得到从第五项开始依次是2、3、1、2、3、1…
∴S2010=670×6=4020，
故答案为：6，4020．