Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，设b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{c_n}满足c_n=（n∈N⁺），设T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，若对一切n∈N⁺不等式4mT_n＞（n+2）c_n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据an+1=Sn+1-Sn，可得an+1=4an-4an-1．整理后可求得bn=2bn-1．进而可推断数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{bn}的通项公式，进而可得cn，根据裂项法求得c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1，即Tn=，根据4mTn＞（n+2），可得m的范围，设f（x）=1++，可知f（x）在[1，+∞）为减函数，则飞f（1）为最大值，进而确定m的范围．得出结论．
证明：（Ⅰ）由于Sn+1=4an+1，①
当n≥2时，Sn=4an-1+1．②
①-②得an+1=4an-4an-1．
所an+1-2an=2（an-2an-1）．
又bn=an+1-2an，
所以bn=2bn-1．
因为a1=1，且a1+a2=4a1+1，
所以a2=3a1+1=4．
所以b1=a2-2a1=2．
故数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=2n，则cn==
∴Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1
=+++…+
=-
=．
由4mTn＞（n+2），得＞．
即m＞．
所以m＞．
所以m＞1+=1++．
设f（x）=1++，x≥1．
可知f（x）在[1，+∞）为减函数，又f（1）=，
则当n∈N时，有f（n）≤f（1）．
所以∴m＞．
故当m＞．时，4mTn＞（n+2）cn恒成立．