Question

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂+a₄=6，S₄=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）：利用待定系数法，设首项和公差，由a2+a4=6，S4=10，列方程组，可得数列首项和公差，从而得解．
（2）：由an=n，bn=an•2n=n•2n可知，要求{bn}的前n项和，可利用错位相减的方法求得．（一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的数列，可用错位相减法求和）
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a2+a4=6，S4=10，
可得，（2分），
即，
解得，（4分）
∴an=a1+（n-1）d=1+（n-1）=n，
故所求等差数列{an}的通项公式为an=n．（5分）
（Ⅱ）依题意，bn=an•2n=n•2n，
∴Tn=b1+b2++bn=1×2+2×22+3×23++（n-1）•2n-1+n•2n，（7分）
又2Tn=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）•2n+n•2n+1，（9分）
两式相减得-Tn=（2+22+23++2n-1+2n）-n•2n+1（11分）==（1-n）•2n+1-2，（12分）
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．（13分）