Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，且对于所有的正整数n，有．
（I）求a₁，a₂的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）令b₁=1，b_2k=a_2k-1+（-1）^k，b_2k+1=a_2k+3^k（k=1，2，3，…），求数列{b_n}的前2n+1项和T_2n+1．

Answer

（I）由题设条件知当n=1时，，a1=1．当n=2时，，a2=3．
（II）由，知4Sn=（an+1）24Sn-1=（an-1+1）2，相减得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0．由此可知an=2n-1．
（Ⅲ）T2n+1=b1+[a1+（-1）1]+（a2+31）+[a3+（-1）2]+（a4+32）++（a2n+3n）=1+S2n+（3+32++3n）+[（-1）1+（-1）2++（-1）n]，由此能够求出其结果．
【解析】
（I）当n=1时，，
∴，a1=1
当n=2时，，
∴，a2=3．
（II）∵，
∴4Sn=（an+1）24Sn-1=（an-1+1）2，相减得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵{an}是正数组成的数列，
∴an-an-1=2，∴an=2n-1．
（Ⅲ）T2n+1=b1+[a1+（-1）1]+（a2+31）+[a3+（-1）2]+（a4+32）++（a2n+3n）
=1+S2n+（3+32++3n）+[（-1）1+（-1）2++（-1）n]
=1+
=．