Question

设函数，数列{a_n}满足．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（III）在数列{a_n}中是否存在这样一些项：，这些项能够构成以a₁为首项，q（0＜q＜5，q∈N^*）为公比的等比数列，k∈N^*．若存在，写出n_k关于k的表达式；若不存在，说明理由．

Answer

（I）由，（n∈N*，且n≥2），
知．由此可知．
（II）分n=2m与n=2m-1讨论可得，，由此计算能导出实数t的取值范围．
（III）由，知数列{an}中每一项都不可能是偶数．存在以a1为首项，公比q为2或4的数列，k∈N*，
此时，中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列，．再由q=1和q=3分别讨论知存在满足条件的数列{ank}，且．
【解析】
（I）因为，（n∈N*，且n≥2），
所以．（2分）
因为a1=1，所以数列{an}是以1为首项，公差为的等差数列．
所以．（4分）

（II）①当n=2m，m∈N*时，Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+（-1）2m-1a2ma2m+1
=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+…+a2m（a2m-1-a2m+1）=
==．（6分）

②当n=2m-1，m∈N*时，Tn=T2m-1=T2m-（-1）2m-1a2ma2m+1==．（8分）
所以
要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立，
只要使，（n为正偶数）恒成立．
只要使，对n为正偶数恒成立，
故实数t的取值范围为．（10分）

（III）由，知数列{an}中每一项都不可能是偶数．
存在以a1为首项，公比q为2或4的数列，k∈N*，
此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列．（12分）
②当q=1时，显然不存在这样的数列．
当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列，k∈N*．
则，n1=1，．
所以存在满足条件的数列，且．（14分）