Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}中b_n＞0（n∈N*），且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer

本题是数列中的一道综合题，（1）的求解要利用恒等式an+1=2Sn+1构造出an=2Sn-1+1两者作差得出an+1=3an，此处是的难点，数列的{bn}的求解根据题意列出方程求d，即可，
（II）中数列求和是一个典型的错位相减法求和技巧的运用．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），
∴an=2Sn-1+1（n∈N*，n＞1），
∴an+1-an=2（Sn-Sn-1），
∴an+1-an=2an，
∴an+1=3an（n∈N*，n＞1）（2分）
而a2=2a1+1=3=3a1，
∴an+1=3an（n∈N*）
∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴an=3n-1（n∈N*）（4分）
∴a1=1，a2=3，a3=9，
在等差数列{bn}中，
∵b1+b2+b3=15，
∴b2=5．
又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，
∴（1+5-d）（9+5+d）=64（6分）
解得d=-10，或d=2，
∵bn＞0（n∈N*），
∴舍去d=-10，取d=2，
∴b1=3，
∴bn=2n+1（n∈N*），（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Tn=3×1+5×3+7×32++（2n-1）3n-2+（2n+1）3n-1①
3Tn=3×3+5×32+7×33++（2n-1）3n-1+（2n+1）3n②（10分）
①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33++2×3n-1-（2n+1）3n（12分）
=3+2（3+32+33++3n-1）-（2n+1）3n
=，
∴Tn=n•3n（14分）