Question

已知函数f（x）=3^x，且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4^x的定义域为[0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的单调区间，确定其单调性并用定义证明；
（3）求g（x）的值域．

Answer

（1）先由函数f（x）=3x且f-1（18）=a+2解出3a的值，整体代入g（x）=3ax-4x中得到g（x）=2x-4x，
（2）对g（x）=2x-4x求导，用导数判断函数在[-1，1]上的单调性；
（3）由（2）的结论根据其单调性求值域．
【解析】
（1）∵f（x）=3x且f（a+2）=3a+2=18，
∴3a=2．
∴g（x）=3ax-4x=（3a）x-4x，
∴g（x）=2x-4x．
（2）∵函数g（x）的定义域为[0，1]，令t=2x，
∵x∈[0，1]，函数t在区间[0，1]上单调递增，
且t∈[1，2]，则g（x）=t-t2在[1，2]上单调递减，
∴g（x）在[0，1]上单调递减．
证明如下：设x1，x2∈[0，1]且x1＜x2，则
g（x2）-g（x1）
==
∵0≤x1＜x2≤1，
∴，
且．
∴．
∴，可知．
∴g（x2）＜g（x1）．
∴函数g（x）在[0，1]上为减函数．
（3）∵g（x）在[0，1]上为减函数，
又x∈[0，1]，
故有g（1）≤g（x）≤g（0）．
∵g（1）=-2，g（0）=0，
∴函数g（x）的值域为[-2，0]．