Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞，0）上有xf′（x）+f（x）＜0且f（-2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（ ）
A．{x|-2＜x＜0或x＞2}
B．{x|x＜-2或0＜x＜2}
C．{x|x＜-2或x＞2}
D．{x|-2＜x＜0或0＜x＜2}

Answer

由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（-2）=0得g（2）=0、还有g（0）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．
【解析】
设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴g（x）=xf（x）是R上的偶函数，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∵f（-2）=0，
∴f（2）=0；
即g（2）=0且g（0）=0f（0）=0，
∴xf（x）＜0化为g（x）＜0，
∵对于偶函数g（x），有g（-x）=g（x）=g（|x|），
故不等式为g（|x|）＜g（2），
∵函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∴|x|＜2且x≠0，解得-2＜x＜2且x≠0，
故所求的解集为{x|-2＜x＜2且x≠0}．
故选D．