Question

一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为a的正方形，左视图是直角边长为a的等腰三角形）如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点．
（Ⅰ）求证：GN⊥AC；
（Ⅱ）求三棱锥F-MCE的体积；
（Ⅲ）当FG=GD时，证明AG∥平面FMC．

Answer

（Ⅰ）由三视图易得该几何体是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，且侧面积ABCD是正方形，根据已知，我们易得AC⊥面ABCD
，进而得到GN⊥AC．
（Ⅱ）利用转化思想，我们可得VE-FMC=VADF-BCE-VF-AMCD-VE-MBC，把相应的棱长代入体积公式，即可得到结论．
（Ⅲ）连接DE交FC于Q，连接QG，我们易得AM∥GQ，根据线面平行的判定定理，我们易得结论．
【解析】
（Ⅰ）由三视图可知，多面体是直三棱柱，
两底面是直角边长为a的等腰直角三角形，
侧面ABCD，CDFE是边长为a的正方形．（3分）
连接DN，因为FD⊥CD，FD⊥AD，
所以，FD⊥面ABCD
∴FD⊥AC
又∵AC⊥DN，
所以，AC⊥面GND，
GN⊂面GND
所以GN⊥AC（6分）
（Ⅱ）VE-FMC=VADF-BCE-VF-AMCD-VE-MBC．（12分）
=
=
=．（14分）
另【解析】

（Ⅲ）连接DE交FC于Q，连接QG
因为G，Q，M分别是FD，FC，AB的中点，所以GQ∥，AM∥，
所以，AM∥GQ，AMGQ是平行四边形（9分）
AG∥QM，AG⊄面FMC，MQ⊂面FMC
所以，AG∥平面FMC．（10分）