Question

设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=时，f（x）的极小值为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）图象上任意两点的连线的斜率恒大于0．

Answer

（1）先利用待定系数法设出f（x）的解析式，再根据奇偶性以及极值建立等式关系，求出参数即可；
（2）先利用导数研究函数在（1，+∞）上的单调性，任设两点并规定大小，表示出斜率即可判断符号．
【解析】
（Ⅰ）设f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）
∵其图象关于原点对称，即f（-x）=-f（x）
得-ax3+bx2-cx+d=-ax3-bx2-cx-d
∴b=d=0，
则有f（x）=ax3+cx
由f′（x）=3ax2+c，依题意得f′（）=0
∴①
f（）=②（5分）
由①②得a=4，c=-3故所求的解析式为：f（x）=4x3-3x．（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=12x2-3＞0
解得：x＞或x＜（8分）
∵（1，+∞）⊂（，+∞）
∴x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增；（10分）
设（x1，y1），（x2，y2）是x∈（1，+∞）时，
函数f（x）图象上任意两点，
且x2＞x1，则有y2＞y1
∴过这两点的直线的斜率．（12分）