Question

如图，已知椭圆C：+y²=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且•=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（Ⅰ）确定圆M的圆心与半径，利用直线AF与圆M相切，根据点到直线的距离公式，求得几何量，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AP的方程为y=kx+1，则直线AQ的方程为y=-，分别与椭圆C的方程联立，求得P、Q的坐标，可得直线l的方程，即可得到结论．
（Ⅰ）【解析】
将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程（x-3）2+（y-1）2=3，
圆M的圆心为M（3，1），半径r=
由A（0，1），F（c，0）（c=），得直线AF：+y=1，即x+cy-c=0，
由直线AF与圆M相切，得=，∴c2=2
∴a2=c2+1=3，∴椭圆C的方程为C：+y2=1；
（Ⅱ）证明：∵•=0，∴AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，
由A（0，1）可设直线AP的方程为y=kx+1，则直线AQ的方程为y=-
将y=kx+1代入椭圆C的方程，整理得：（1+3k2）x2+6kx=0，
解得x=0或x=-，因此P的坐标为（-，-+1），
即P（-，）
将上式中的k换成-，得Q（，）
∴直线l的斜率为=
直线l的方程为y=（x-）+
化简得直线l的方程为y=x-，因此直线l过定点N（0，-）．