Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是线段A₁C₁的中点，AC∩BD=F．
（1）求证：CE⊥BD；
（2）求证：CE∥平面A₁BD；
（3）求三棱锥D-A₁BC的表面积．

Answer

（1）欲证CE⊥BD，而CE⊂平面ACC1A1，可先证BD⊥平面ACC1A1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD与平面ACC1A1内两相交直线垂直，根据正方体的性质BD⊥AC，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则BD⊥AA1，又AC∩AA1=A，满足定理所需条件；
（2）欲证CE∥平面A1BD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证CE与平面A1BD内一直线平行，连接A1F，根据AA1∥BB1∥CC1，
AA1=BB1=CC1，可得ACC1A1为平行四边形，根据中位线可知CE∥FA1，FA1⊂面A1BD，CE⊄平面A1BD，满足定理所需条件；
（3）先求出正三角形△A1BD的面积，然后根据BC⊥平面A1B1BA，则BC⊥A1B，求出直角三角形△A1BC的面积，同理求出△A1CD的面积和△BCD面积，最后将四个面积相加即可．
【解析】
（1）证明：根据正方体的性质BD⊥AC，（2分）
因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AA1，
又AC∩AA1=A，
所以BD⊥平面ACC1A1，CE⊂平面ACC1A1，所以CE⊥BD．（4分）

（2）证明：连接A1F，因为AA1∥BB1∥CC1，AA1=BB1=CC1，
所以ACC1A1为平行四边形，
因此A1C1∥AC，A1C1=AC，
由于E是线段A1C1的中点，
所以CE∥FA1，（6分）
因为FA1⊂面A1BD，CE⊄平面A1BD，
所以CE∥平面A1BD．（8分）

（3）△A1BD是边长为的正三角形，
其面积为，（9分）
因为BC⊥平面A1B1BA，所以BC⊥A1B，
所以△A1BC是直角三角形，其面积为，
同理△A1CD的面积为，（12分）
△BCD面积为．（13分）
所以三棱锥D-A1BC的表面积为．（14分）