Question

如图，A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任=A意一点，A₁A=AB=2．
（1）求证：BC⊥平面A₁AC；
（2）求三棱锥A₁-ABC的体积的最大值．

Answer

（1）欲证BC⊥平面AA1C，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面AA1C内两相交直线垂直，而BC⊥AC，AA1⊥BC，AA1∩AC=A满足定理条件；
（2）设AC=x，在Rt△ABC中，求出BC，根据体积公式VA1-ABC=S△ABC•AA1表示成关于x的函数，根据二次函数求出其最大值．
【解析】
（1）证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC．
∵AA1⊥平面ABC，BC⊈平面ABC，
∴AA1⊥BC．
∵AA1∩AC=A，AA1⊊平面AA1C，AC⊊平面AA1C，
∴BC⊥平面AA1C．
（2）设AC=x，在Rt△ABC中，
BC==（0＜x＜2），
故VA1-ABC=S△ABC•AA1=••AC•BC•AA1
=x（0＜x＜2），
即VA1-ABC=x=
=．
∵0＜x＜2，0＜x2＜4，∴当x2=2，即x=时，
三棱锥A1-ABC的体积最大，其最大值为