Question

矩形ABCD中，AB=，BC=2，Q为AD的中点，将△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起，使得AQ、DQ重合，记A、D重合的点为P．
（1）求二面角B-PQ-C的大小；
（2）证明PQ⊥BC；
（3）求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小．

Answer

（1）根据折起前后的线线关系可知PB⊥PQ，APC⊥PQ，则∠BPC就是所求的二面角的平面角，根据勾股定理可知△PBC是直角三角形，即可求出所求；
（2）取BC中点M，连PM、QM，则有PM⊥BC，QM⊥BC，而PM∩QM=M，PM⊂平面PQM，QM⊂平面PQM，根据线面垂直判定定理可知BC⊥平面PQM，而PQ⊂平面PQM，根据线面垂直的性质可知PQ⊥BC．
（3）根据面面垂直的判定定理可知平面PQM⊥平面BCQ，作PN⊥QM，则有PN⊥平面BCQ，从而∠PQN就是所求的角，在等腰△BCQ中，求出OM，在等腰△BCP中，易得PM=1，则△PQM是等腰直角三角形，从而求出所求．
（1）【解析】
在矩形ABCD中，AB⊥AQ，DC⊥DQ，
所以，在折起后，有PB⊥PQ，APC⊥PQ，
所以∠BPC就是所求的二面角的平面角．
因为，BC=2，
所以PB2+PC2=BC2，即△PBC是直角三角形，
所以∠BPC=90°．（4分）

（2）证明：由已知可得△BCQ、△BCP都是等腰三角形，
取BC中点M，连PM、QM，
则有PM⊥BC，QM⊥BC，
因为PM∩QM=M，PM⊂平面PQM，QM⊂平面PQM，
所以BC⊥平面PQM，
因为PQ⊂平面PQM，
所以PQ⊥BC．（9分）

（3）【解析】
由（2）知BC⊥平面PQM，而BC⊂平面BCQ，
所以平面PQM⊥平面BCQ．
又平面PQM∩平面BCQ=QM，
所以，作PN⊥QM，有PN⊥平面BCQ，
所以QN是PQ在平面BCQ内的射影，
所以∠PQN就是所求的角．
在等腰△BCQ中，QC=，MC=1，所以得QM=；
在等腰△BCP中，易得PM=1，
所以△PQM是等腰直角三角形，于是∠PQN=∠PQM=45°．（14分）