Question

在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列．
（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论；
（2）证明：．

Answer

（1）根据等差中项和等比中项的性质求得an和bn的关系式，分别求得a2，a3，a4及b2，b3，b4，推测出它们的通项公式．先看当n=1时，等式明显成立；进而假设当n=k时，结论成立，推断出ak和bk的表达式，进而看当n=k+1时看结论是否成立即可．
（2）先n=1时，不等式成立，进而看n≥2时利用（1）中的{an}，{bn}的通项公式，以及裂项法进行求和，证明题设．
【解析】
（1）由条件得2bn=an+an+1，an+12=bnbn+1
由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25．
猜测an=n（n+1），bn=（n+1）2．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2，
那么当n=k+1时，ak+1=2bk-ak=2（k+1）2-k（k+1）=（k+1）（k+2），bk+1==（k+2）2．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知an=n（n+1），bn=（n+1）2对一切正整数都成立．
（2）证明：．
n≥2时，由（1）知an+bn=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．
故==
综上，原不等式成立．