Question

首项为正数的数列{a_n}满足a_n+1=（a_n²+3），n∈N₊．
（1）证明：若a₁为奇数，则对一切n≥2，a_n都是奇数；
（2）若对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n，求a₁的取值范围．

Answer

（1）首先在n=1时，知a1为奇数，再利用归纳法证明对一切n≥2，an都是奇数；
（2）先求出an+1-an的表达式，利用函数思想求解不等式an+1-an＞0，求出an取值范围，利用归纳法求出a1的取值范围．
（1）证明：已知a1是奇数，假设ak=2m-1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak+1==m（m-1）+1是奇数．
根据数学归纳法，对任何n≥2，an都是奇数．
（2）法一：由an+1-an=（an-1）（an-3）知，an+1＞an当且仅当an＜1或an＞3．
另一方面，若0＜ak＜1，则0＜ak+1＜=1；
若ak＞3，则ak+1＞=3．
根据数学归纳法得，0＜a1＜1⇔0＜an＜1，∀n∈N+；
a1＞3⇔an＞3，∀n∈N+．
综上所述，对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．
法二：由a2=＞a1，得a12-4a1+3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3．
an+1-an=-=，
因为a1＞0，an+1=，所以所有的an均大于0，
因此an+1-an与an-an-1同号．
根据数学归纳法，∀n∈N+，an+1-an与a2-a1同号．
因此，对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．