Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．
（Ⅰ）求r的值．
（Ⅱ）当b=2时，记b_n=2（log₂a_n=1）（n∈N⁺），证明：对任意的，不等式成立．

Answer

本题考查的数学归纳法及数列的性质．
（1）由已知中因为对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．根据数列中an与Sn的关系，我们易得到一个关于r的方程，再由数列{an}为等比数列，即可得到r的值．
（2）将b=2代入，我们可以得到数列{an}的通项公式，再由bn=2（log2an=1）（n∈n），我们可给数列{bn}的通项公式，进而可将不等式进行简化，然后利用数学归纳法对其进行证明．
【解析】
（1）因为对任意的n∈N+，点（n，Sn），
均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．
所以得Sn=bn+r，当n=1时，a1=S1=b+r，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn+r-（bn-1+r）=bn-bn-1=（b-1）bn-1，
又因为{an}为等比数列，所以r=-1，公比为b，an=（b-1）bn-1
（2）当b=2时，an=（b-1）bn-1=2n-1，bn=2（log2an+1）=2（log22n-1+1）=2n
则，
所以
下面用数学归纳法证明不等式成立．
当n=1时，左边=，右边=，
因为，所以不等式成立．
假设当n=k时不等式成立，
即成立
则当n=k+1时，
左边=
所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．