Question

已知等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），等比数列{b_n}的公比为q（q＞1）．设s_n=a₁b₁+a₂b₂…..+a_nb_n，T_n=a₁b₁-a₂b₂+…..+（-1）^n-1a_nb_n，n∈N⁺，
（1）若a₁（2）=b₁（3）=1，d=2，q=3，求S₃的值；
（Ⅱ）若b₁（6）=1，证明（1-q）S_2n-（1+q）T_2n=，n∈（10）N⁺；
（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k₁，k₂，…，k_n和l₁，l₂，…，l_n是1，2，…，n的两个不同的排列，c₁=a_k1b₁+a_k2b₂+…+a_knb_n，c₂=a_l1b₁+a_l2b₂+…+a_lnb_n证明c₁≠c₂．

Answer

（Ⅰ）由题设，可得an=2n-1，bn=3n-1，n∈N*，由此可求出S3的值．
（Ⅱ）证明：由题设可得bn=qn-1则S2n=a1+a2q+a3q2++a2nq2n-1，T2n=a1-a2q+a3q2-a4q3+-a2nq2n-1，由此能够推导出（1-q）S2n-（1+q）T2n=．
（Ⅲ）证明：由题设条件可知，由此入手能够导出c1≠c2．
（Ⅰ）【解析】
由题设，可得an=2n-1，bn=3n-1，n∈N*
所以，S3=a1b1+a2b2+a3b3=1×1+3×3+5×9=55
（Ⅱ）证明：由题设可得bn=qn-1则S2n=a1+a2q+a3q2++a2nq2n-1，①
T2n=a1-a2q+a3q2-a4q3+-a2nq2n-1，
S2n-T2n=2（a2q+a4q3+-a2nq2n-1）
1式加上②式，得S2n+T2n=2（a1+a3q2++a2n-1q2n-2）③
2式两边同乘q，得q（S2n+T2n）=2（a1q+a3q3++a2n-1q2n-1）
所以，（1-q）S2n-（1+q）T2n=（S2n-T2n）-q（S2n+T2n）
=2d（q+q3++q2n-1）
=
（Ⅲ）证明：c1-c2=（ak1-al1）b1+（ak2-al2）b2++（akn-aln）bn
=（k1-l1）db1+（k2-l2）db1q++（kn-ln）db1qn-1
因为d≠0，b1≠0，所以
（1）若kn≠ln（2），取i=n
（3）若kn=ln（4），取i满足ki≠li（5）且kj=lj，i+1≤j≤n（6）
由（1），（2）及题设知，1＜i≤n
且
1当ki＜li2时，得ki-li≤-1，由q≥n，
得ki-li≤q-1，i=1，2，3i-13
即k1-l1≤q-1，（k2-l2）q≤q（q-1），（ki-1-li-1）qi-2≤qi-2（q-1）
又（ki-li）qi-1≤-qi-1，
所以
因此c1-c2≠0，即c1≠c2
4当ki＞li5同理可得6，因此c1≠c27．综上，c1≠c2