Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+2n，数列{b_n}的前n项和Tn=2-b_n
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n²•b_n，证明：当且仅当n≥3时，c_n+1＜c_n．

Answer

（1）由题意知a1=S1=4，an=Sn-Sn-1化简可得，an=4n，n∈N*，再由bn=Tn-Tn-1=（2-bn）-（2-bn-1），可得2bn=bn-1知数列bn是等比数列，其首项为1，公比为的等比数列，由此可知数列{an}与{bn}的通项公式．
（2）由题意知，=．由得，解得n≥3．由此能够导出当且仅当n≥3时cn+1＜cn．
【解析】
（1）由于a1=S1=4
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n2+2n）-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，∴an=4n，n∈N*，
又当x≥n时，Tn=2-bn，∴bn=2-Tn，
bn=Tn-Tn-1=（2-bn）-（2-bn-1），∴2bn=bn-1
∴数列bn是等比数列，其首项为1，公比为，∴．
（2）由（1）知，=．
由得，解得n≥3．
又n≥3时，成立，即，由于cn＞0恒成立．
因此，当且仅当n≥3时cn+1＜cn．