Question

已知函数f（x）=（）^x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f²（x）-2af（x）+3的最小值为h（a）．
（1）求h（a）的解析式；
（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）g（x）为关于f（x）的二次函数，可用换元法，转化为二次函数在特定区间上的最值问题，定区间动轴；
（2）由（1）可知a≥3时，h（a）为一次函数且为减函数，求值域，找关系即可．
【解析】
（1）由，
知，
令
记g（x）=y=t2-2at+3，则g（x）的对称轴为t=a，故有：
①当时，g（x）的最小值h（a）=
②当a≥3时，g（x）的最小值h（a）=12-6a
③当时，g（x）的最小值h（a）=3-a2
综上所述，
（2）当a≥3时，h（a）=-6a+12，故m＞n＞3时，h（a）在[n，m]上为减函数，
所以h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]．
由题意，则⇒，
两式相减得6n-6m=n2-m2，
又m≠n，所以m+n=6，这与m＞n＞3矛盾，
故不存在满足题中条件的m，n的值．