Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E是PD的中点
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求证：平面PDC⊥平面AEC．

Answer

（1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；
（2）要证平面PDC⊥平面AEC，需要证明CD⊥AE，AE⊥PD，即垂直平面AEC内的两条相交直线．
【解析】
（1）连接BD交AC于O点，连接EO，
因为O为BD中点，E为PD中点，所以EO∥PB，（2分）
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）
（2）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为AD⊥CD，且AD∩PA=A，所以CD⊥平面PAD．（8分）
因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE．（10分）
因为PA=AD，E为PD中点，所以AE⊥PD．
因为CD∩PD=D，所以AE⊥平面PDC．（12分）
又因为AE⊂平面PAD，所以平面PDC⊥平面AEC．（14分）