Question

如图（1）在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，点D为AP的中点，点E、F、G分别这PC、PD、CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD内的射影为点D，如图（2）．
（1）求证：PA∥平面EFG；
（2）求二面角E-FG-D的余弦值的绝对值．

Answer

（1）要证PA∥平面EFG，可以证明PA所在平面与平面FEG平行即可．
（2）求二面角E-FG-D的余弦值的绝对值．建立空间直角坐标系，利用法向量的数量积求解即可．
【解析】
由题意，将△PCD沿CD折起后，PA⊥平面ABCD．四边形ABCD是边长为2的正方形，PD=2．
（1）因为点E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，
所以EF∥CD，EG∥PB．
又因为CD∥AB，所以EF∥AB，因为AB⊄平面EFG，
EF⊂平面EFG，所以AB∥平面EFG，
同理PBAB∥平面EFG，又因为PB∩AB=B，
所以平面EFG∥平面PAB，PA⊂平面PAB，
所以PA∥平面EFG．
（2）建立空间直角坐标系D-xyz，如图，
则D（0，0，0），F（0，0，1），G（1，2，0），E（0，1，1），
求出平面DFG的法向量m=（-2，1，0），
平面EFG的法向量，n=（1，0，1）．
所以|cos〈m，n〉|=