Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-A₁C₁B的体积；
（Ⅲ）求异面直线BC₁与AA₁所成的角的大小．

Answer

（Ⅰ）连BD、B1D1，A1C1⊥B1D1，因BB1⊥底面A1B1C1D1，A1C1底面A1B1C1D1，则A1C1⊥BB1，从而A1C1⊥平面BB1D1D，
则B1D⊥A1C1，同理可证：B1D⊥BC1，且A1C1∩BC1=C1，满足线面垂直的判定定理，则B1D⊥平面A1C1B；
（Ⅱ）根据进行求解即可；
（Ⅲ）AA1∥BB1，则异面直线BC1与AA1所成的角就是BC1与BB1所成的角，从而求得∠B1BC1．
（Ⅰ）证明：如图，连BD、B1D1，
∵A1B1C1D1是正方形，
∴A1C1⊥B1D1，（2分）
又∵BB1⊥底面A1B1C1D1，A1C1
底面A1B1C1D1，
∴A1C1⊥BB1，
∴A1C1⊥平面BB1D1D，（4分）
∴B1D⊥A1C1，同理可证：B1D⊥BC1，且A1C1∩BC1=C1，
故B1D⊥平面A1C1B．（5分）
（Ⅱ）【解析】

=••1•1•1=．（9分）
（Ⅲ）【解析】
∵AA1∥BB1，
∴异面直线BC1与AA1所成的角就是BC1与BB1所成的角，即∠B1BC1=45°．（13分）
故异面直线BC1与AA1所成的角为45°．（14分）