Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R）的图象过点P（-1，2），且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直．
（Ⅰ）若c=0，试求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，且函数f（x）在（-∞，m），（n，+∞）上单调递增，试求n-m的范围．

Answer

（Ⅰ）因c=0，代入f（x）=ax3+bx2+c得f（x）=ax3+bx2，然后求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由题意a＞0，b＞0，且函数f（x）在（-∞，m），（n，+∞）上单调递增，可以令f′（x）=3ax2+2bx=0，得函数的两个极值点，从而求出n-m的表达式，最后求解．
【解析】
（Ⅰ）因为f（x）的图象过点P（-1，2），所以-a+b+c=2．
又f′（x）=3ax2+2bx，且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直．
所以3a-2b=-3，且c=0，所以a=1，b=3．所以f（x）=3x2+6x．
令f′（x）=0⇒x1=0，x2=-2．显然当x＜-2或x＞0时，f′（x）＞0；
当-2＜x＜0时，f′（x）＜0．则函数f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（0，+∞），
函数f（x）的单调减区间是（-2，0）．（6分）
（Ⅱ）令f′（x）=3ax2+2bx=0，得．
因为a＞0，b＞0，所以当x＞0或时，f′（x）＞0，
即函数f（x）的单调增区间是．
所以
又由（Ⅰ）知：3a-2b=-3，
所以
所以n-m＞1．（14分）