Question

在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A-BC-D的正弦值．

Answer

（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、DO，根据正三角形可知AO⊥BC，DO⊥BC，而AO∩DO=O，满足线面垂直的判定定理，则BC⊥平面AOD，而AD⊂平面AOD，根据线面垂直的性质可知BC⊥AD．
（Ⅱ）根据二面角平面角的定义可知∠AOD为二面角A-BC-D的平面角，过点D作DE⊥AO，垂足为E，易证线段DE的长为点D到平面ABC的距离，在Rt△DEO中，求出此角的正弦值即可．
证明：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、DO．
因为△ABC、△BCD都是边长为4的正三角形，
所以AO⊥BC，DO⊥BC，
且AO∩DO=O．
所以BC⊥平面AOD，
又AD⊂平面AOD．
所以BC⊥AD．
【解析】
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠AOD为二面角A-BC-D的平面角，
设∠AOD=α，则过点D作DE⊥AO，垂足为E．∵BC⊥平面ADO，且BC⊂平面ABC，
∴平面ADO⊥平面ABC，又平面ADO∩平面ABC=AO，
∴DE⊥平面ABC，
∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE=3．
又，
在Rt△DEO中，，
故二面角A-BC-D的正弦值为．