Question

已知双曲线的右焦点为F，Q为双曲线左准线上的点，且QF交双曲线于第一象限一点P，若O为坐标原点，且OP垂直平分FQ，则双曲线的离心率e=    ．

Answer

根据题意可推断出F和Q的坐标，表示出其中点的坐标，代入双曲线方程求得y，利用换元法令e-=t 利用k*k'=-1求得a，b和e的关系，最后整理成关于e的一元二次方程求得答案．
【解析】
离心率 e=
左准线 x==-
右焦点 （c，0） Q（ae，0）
P 是FQ中点，所以 P 点横坐标
x=（-+ae）=a（e-）
代入到双曲线方程，考虑P在第一象限，得到纵坐标
y=b =
设 e-=t
x=
y=
PF斜率 k=，
OP 斜率
k'=
PF 与 OP 垂直
k  k'=-1，（ ）2  （t2-4）=t（2e-t）
其中=e2-1
把 t 表达式代回 
整理得e2+-6=1+
求得e2=7
∴e=
故答案为：