Question

在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和
直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，EF∥BD，
ED⊥BD，AD=，EF=ED=1，点P为线段
EF上任意一点．
（Ⅰ）求证：CF⊥AP；
（Ⅱ）求二面角B-AF-E的余弦值．

Answer

（I）由题意平面BDEF⊥平面ABCD，ED⊥BD，得ED⊥平面ABCD，在利用所给的边长关系得到线线垂直，进而得到线面垂直，再有线面垂直得出线线垂直即可；
（II）由题意及所给图形利用（I）的证明过程及二面角的概念可以找到二面角的平面角，然后再在三角形中解出．
【解析】
（Ⅰ）∵平面BDEF⊥平面ABCD，ED⊥BD，
∴ED⊥平面ABCD
连接AC交BD于点O，连接FO，
∵正方形ABCD的边长为，∴AC=BD=2；
在直角梯形BDEF中，∵EF=ED=1，
O为BD中点，∴FO∥ED，且FO=1；
易求得AF=CF=，AE=CE=，
由勾股定理知CF⊥EF，AF⊥EF
由AF=CF=，AC=2可知CF⊥AF．EF∩AF=F，∴CF⊥平面AEF
∵点P为线段EF上任意一点，∴AP⊂平面AEF∴CF⊥AP
（Ⅱ）取AF中点M，AE中点N，连接BM、MN、BN，
∵AB=AF=BF=，∴BM⊥AF，又MN∥EF，AF⊥EF∴MN⊥AF
∴∠BMN是二面角B-AF-E的平面角．
易求得BM=AB=，MN=EF=，设AD中点为Q，则NQ∥ED，
NQ⊥BQ，可求得BN2=NQ2+BQ2=，
在△BMN中，由余弦定理求得，cos∠BMN=-
二面角B-AF-E的余弦值为-