Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，已知．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在一个最小正整数M，当n＞M时，S_n＞Tn恒成立？若存在求出这个M值，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设，求数列{c_n}的前n项和U_n及其取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用数列前n项和与通项的关系，即当n＞1时，an=Sn-Sn-1，再验证，n=1即可．
（Ⅱ）由数列{an}的通项公式可推出{bn}的通项，从而求出数列{bn}的前n项和为Tn，最后比较Sn，Tn即可得解．
（Ⅲ）求出{cn}通项，进而再利用裂项相消法求出的前n项和Un．从而得解．
【解析】
（I）当n=1时，a1=S1=2
当n＞1时，an=Sn-Sn-1=n+1，
综上，数列{an}的通项公式是an=n+1（n∈N*）（4分）

（II），，
∴数列{bn}是以12为首项，为公比的等比数列．
∴．（7分）
由此可知12≤Tn＜18．
而{Sn}是一个递增数列，
且S1=2，T1=12，S2=5，T2=16，S3=9，T3=17，S4=14，T4=17．
故存在一个最小正整数M=4，当n＞M时，Sn＞Tn恒成立．（10分）
（Ⅲ），Un=c1+c2+c3++cn-1+cn=
∵，∴Un的取值范围是（14分）