Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A=AB，E、F分别是BD₁和AD中点．
（1）求异面直线CD₁、EF所成的角；
（2）证明EF是异面直线AD和BD₁的公垂线．

Answer

（1）根据题意，易得EF∥C1D，即直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角，计算可得答案；
（2）AB=AA1=a，D1F=可得EF⊥BD1，由平行四边形BAD1C1，知E也是AC1的中点且点E是长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心⇒EA=ED⇒EF⊥AD，再由公垂线定义得证．
【解析】
（1）∵在平行四边形BAD1C1中，
E也是AC1的中点，∴EF∥C1D，（2分）
∴两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角．（4分）
又A1A=AB，长方体的侧面ABB1A1，
CDD1C1都是正方形，∴D1C⊥CD1
∴异面直线CD1、EF所成的角为90°．（7分）

（2）证：设AB=AA1=a，∵D1F=，
∴EF⊥BD1．（9分）
由平行四边形BAD1C1，知E也是AC1的中点，
且点E是长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心，（12分）
∴EA=ED，∴EF⊥AD，又EF⊥BD1，
∴EF是异面直线BD1与AD的公垂线．（14分）