Question

设函数f（x）=xe^kx（k≠0）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求k的取值范围．

Answer

（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；
（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当-≤-1时，函数f（x）（-1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当-≥1时，函数f（x）（-1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）ekx，f′（0）=1，f（0）=0，
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；
（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）ekx=0，得x=-（k≠0），
若k＞0，则当x∈（-∞，-）时，
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-，+∞，）时，f′（x）＞0，
函数f（x）单调递增，
若k＜0，则当x∈（-∞，-）时，
f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（-，+∞，）时，
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当-≤-1，
即k≤1时，函数f（x）（-1，1）内单调递增，
若k＜0，则当且仅当-≥1，
即k≥-1时，函数f（x）（-1，1）内单调递增，
综上可知，函数f（x）（-1，1）内单调递增时，
k的取值范围是[-1，0）∪（0，1]．