Question

已知椭圆和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．

Answer

（Ⅰ）（ⅰ）由圆O过椭圆的焦点，知圆O：x2+y2=b2，由此能求出椭圆的离心率e；
      （ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得，|OP|2=2b2≤a2，由此能求出椭圆离心率e的取值范围；
（Ⅱ）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以PA方程为：x1x+y1y=b2，PB方程为：x2x+y2y=b2．由此入手能得到为定值．
【解析】
（Ⅰ）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x2+y2=b2，
∴b=c，∴b2=a2-c2=c2，∴a2=2c2，
∴．（3分）
（ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得，
∴|OP|2=2b2≤a2，∴a2≤2c2
∴，．（6分）
（Ⅱ）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则
整理得xx+yy=x12+y12∵x12+y12=b2
∴PA方程为：x1x+y1y=b2，PB方程为：x2x+y2y=b2．
∴x1x+y1y=x2x+y2y，∴，
直线AB方程为，即xx+yy=b2．
令x=0，得，令y=0，得，
∴，
∴为定值，定值是．（12分）