Question

设椭圆的左，右两个焦点分别为F₁，F₂，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且F₁PF₂Q为正方形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为，求此椭圆方程．

Answer

（1）根据题意可表示出P的坐标和F1的坐标，利用正方形的性质推断出，进而利用椭圆a，b和c的关系求得a和b的关系，则椭圆的离心率可得．
（2）先根据B的坐标，利用几何关系求得一条切线的斜率，利用点斜式表示出直线的方程，利用截距求得c，进而求得a和b，则椭圆的方程可得．
【解析】
（1）由题意知：，设F1（-c，0）
因为F1PF2Q为正方形，所以
即b=3c，∴b2=9c2，即a2=10c2，
所以离心率
（2）因为B（0，3c），由几何关系可求得一条切线的斜率为
所以切线方程为，
因为在轴上的截距为，所以c=1，
所求椭圆方程为：