Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）记，求函数y=g（x）的单调区间．

Answer

（1）根据函数为奇函数求出b，然后根据函数f（x）在x=1取得极大值2，建立a与c的方程组，解之即可求出函数y=f（x）的解析式；
（2）先求函数的定义域，讨论k与-1的大小，然后利用导数的符号确定函数的单调性即可．
【解析】
（1）由f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0
∴f′（x）=3ax2+c，且f（x）在x=1取得极大值2．
∴
解得a=-1，c=3，∴f（x）=-x3+3x
（2）∵g（x）=-x2+3+（k+1）lnx，
∴
因为函数定义域为（0，+∞），所以
①当k=-1时，g'（x）=-2x＜0，
函数在（0，+∞）上单调递减；
②当k＜-1时，k+1＜0，∵x＞0，
∴．
∴函数在（0，+∞）上单调递减；
③k＞-1时，k+1＞0，令g'（x）＞0，得，
∵x＞0，
∴-2x2+（k+1）＞0，得，
结合x＞0，得；
令g'（x）＜0，得，同上得2x2＞（k+1），，
∴k＞-1时，单调递增区间为（0，），
单调递减区间为（，+∞）
综上，当k≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当k＞-1时，函数的单调递增区间为（0，），
单调递减区间为（，+∞）