Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+b有极值，且极大值点与极小值点分别为A、B，又线段AB（不含端点）与函数f（x）图象交于点（1，0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=2x²+4x-k，已知对任意x₁、x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）|≤|g（x₂）|，求k的取值．

Answer

（1）先求导，令f′（x）=3x2+6ax可得x1=0，x2=-2a，求出A，B的坐标，进一步求直线AB的方程，其经过（1，0），且f（1）=0，联立可得a，b
（2）依题意可把问题转化为|f（x）|max≤|g（x2）|，x1，x2∈[-1，1]
【解析】
（1）f′（x）=3x2+6ax，
又f′（x）=0则x1=0，x2=-2a，而f（0）=b，
f（-2a）=4a3+b，则点A（0，b）B（-2a，4a3+b）
则直线AB方程为：=①而且（1，0）满足①式，
则b=2a2，又f（1）=0则1+3a+b=0．
∴或，
而交点（1，0）在线段AB上，则a=-1，b=2为所求
（2）|x3-3x2+2|≤|2x2+4x-k|，x∈[-1，1]，则|f（x）|max=2，
故2x2+4x-k≥2或2x2+4x-k≤-2，∴{k|k≤-4或k≥8}为所求．