Question

如图，菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面相互垂直，点M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）当为何值时，平面DEF⊥平面BEF？并证明你的结论．

Answer

（1）取AC与BD的交点N，连接EN，要证AM∥平面BDE，只需证明直线AM平行平面BDE内的直线EN即可；
（2）当=2时，在平面DEF内的直线DM垂直EF、BM，可得DM⊥平面BEF，即可证明平面DEF⊥平面BEF．
证明：（1）取AC与BD的交点N，连接EN，（1分）
由题意知：EN∥AM，（4分）
又EN在平面BDE内，（5分）
所以AM∥平面BDE；（6分）
（2）当时，平面DEF⊥平面BEF（7分）
因为面ACEF⊥面ABCD，四边形ACEF为矩形，
所以FA、EC都垂直于面ABCD，又四边形ABCD是菱形，
所以△FAD≌△ECA，所以DF=DE又M为EF的中点，所以DM⊥EF，（10分）
当DM⊥BM时，就有DM⊥平面BEF（12分）
即∠DMB=90°时，平面DEF⊥平面BEF∴．（14分）