Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=BC=3，BB₁=，连B₁C，过点B作B₁C的垂线，垂足为E且交CC₁于F．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BF；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面BDF；
（Ⅲ）求二面角F-BD-C的大小．

Answer

（Ⅰ）要证A1C⊥BF，只需证明BF垂直A1C在面BC1内的射影B1C即可；
（Ⅱ）连接AC交BD于O，则O为AC中点，连接OF，要证AC1∥平面BDF，只需证明AC1平行平面BDF内的直线OF即可，（利用数据计算出F为为C1C的中点）；
（Ⅲ）说明∠FOC为二面角F-BD-C的平面角，解Rt△ABC求二面角F-BD-C的大小．
证明：（I）在长方体中，A1B1⊥面BC1，
B1C为A1C在面BC1内的射影，
BF⊂面BC1，
且BF⊥B1C，∴A1C⊥BF．（3分）
证明（II）∵AB=BC=3，BB1=3，
在Rt△B1BC中，B1C=3，∵BF⊥B1C于E，∴BC2=CE•CB1，得CE=，
由△BB1E∽△FCE得，即F为C1C的中点．（7分）
连接AC交BD于O，则O为AC中点，连接OF，则OF∥AC1，∵AC1⊄面BDF，OF⊂面BDF，∴AC1∥平面BDF．（9分）
解（III）在长方体中，C1C⊥面AC，OC为OF在面AC上的射影，BD⊂面AC，且BD⊥AC，∴BD⊥OF，
∴∠FOC为二面角F-BD-C的平面角．（11分）
在Rt△ABC中，OC=，∴OC=CF，∴∠FOC=45°
∴二面角F-BD-C的大小为45°（13分）