Question

已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0，及点Q（-2，3，），
（1）P（a，a+1）在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
（2）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）若实数m，n满足m²+n²-4m-14n+45=0，求的最大值和最小值．

Answer

（1）将P的坐标代入圆的方程求得a，则P的坐标可得，进而利用两点间的距离公式求得PQ的长，利用P，Q的坐标求得直线PQ的斜率．
（2）先把圆的方程整理成标准方程，求得圆心的坐标的半径，进而利用两点间的距离公式求得QC的长，利用|QC|-R≤|MQ|≤|QC|+R求得MQ的范围．
（3）表示圆上点与Q（-2，3，）的斜率，把问题转化为求得斜率的最值，先求得直线与圆斜切的时的k的值，利用圆心到直线的距离为半径的方法求得相切时k的值，进而推断出斜率的范围．
解（1）将P（a，a+1）代入C：x2+y2-4x-14y+45=0，中得a=4
所以p（4，5），
（2）将圆C：x2+y2-4x-14y+45=0，转化为标准形式
圆心C（2，7）|QC|-R≤|MQ|≤|QC|+R，因为，所以
所以|MQ|最小值为，最大值为
（3）根据题意，实数m，n满足m2+n2-4m-14n+45=0，即满足，
则（m，n）对应的点在以（2，7）为圆心，半径为2的圆上，
分析可得表示该圆上的任意一点与Q（-2，3，）相连所得直线的斜率，
设该直线斜率为k，则其方程为y-3=k（x+2），
又由d=，
解得即
所以的最小值：和最大值：