Question

设{a_n}是正数数列，其前n项和S_n满足S_n=（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；
（3）求数列{a_n}的通项公式；
（5）对于数列{b_n}，T_n为数列{b_n}的前n项和，令b_n=，试求T_n的表达式．

Answer

（1）把n=1代入递推公式（an+3）可求a1的值
（2）由，可得
两式相减结合an＞0的条件整理可得an-an-1=2，从而利用等差数列的通项公式求出an
（3）由（2）中求出Sn，代入求bn=，利用裂项求和求出Tn
【解析】
（1）由a1=S1=，及an＞0，得a1=3

（2）由
得．∴当n≥2时，

∴2（an+an-1）=（an+an-1）（an-an-1）
∵an+an-1＞0∴an-an-1=2，
∴由（1）知，{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴an=2n+1．

（3）由（2）知Sn=n（n+2）∴，
Tn=b1+b2+…+bn
=
=
=