Question

已知三次函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（1）=0，f′（2）=3，f′（3）=12．
（Ⅰ）求f（x）-f（0）的表达式；
（Ⅱ）若对任意的x∈[-1，4]，都有f（x）＞f'（x）成立，求f（0）的取值范围．

Answer

（1）先用待定系数法设出函数f（x）的解析式，然后求导数，将x=1，2，3代入可求出函数f（x）的解析式进而可得答案．
（2）先求函数f（x）的导函数f'（x），然后表示表示出f（x）＞f′（x）的不等关系，表示出f（0），转化为求f（0）＞-x3+6x2-9x+3在[-1，4]的恒成立问题．
【解析】
（Ⅰ）设f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f′（x）=3ax2+2bx+c．
∴即．
∴f（x）-f（0）=x3-3x2+3x．
（Ⅱ）f′（x）=3x2-6x+3，∵对任意的x∈[-1，4]，f（x）＞f′（x）成立
∴f（x）-f′（x）=x3-6x2+9x+f（0）-3＞0．
∴f（0）＞-x3+6x2-9x+3
设F（x）=-x3+6x2-9x+3，则F′（x）=-3x2+12x-9．
令F′（x）=0得x=1或x=3，∴x=1和x=3是函数的极值点．
又F（-1）＞F（3），F（-1＞F（1），F（-1）＞F（4）
∴F（x）在[-1，4]上的最大值为F（-1）=19．f（0）的取值范围是（19，+∞）．