Question

已知数列{a_n}中，，a_n+1-a_n=（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}中的最大项；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）首先当n=1时，a2-a1=＞0，可知a2＞a1，当n≥2时，an+1-an=＜0，可得an+1＜an．因此当n≥2时，数列{an}是递减数列，因而可知数列{an}中最大项为a2．
（2）当n≥2时，可知an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-1-an-2）+（an-an-1），代入各项的值，根据式子的特征设置kan代入各项值，两式相减即可求出数列{an}的通项公式；再检查当n=1时，通项式是否符合，若不符合，则分情况，若符合，则该数列的通项公式为．
【解析】
（1）当n=1时，a2-a1=＞0．
∴a2＞a1，当n≥2时，an+1-an=＜0，
∴an+1＜an．
故当n≥2时，数列{an}是递减数列．
综上所述，对一切n∈N*都有a2≥an．
∴数列{an}中最大项为a2．
（2）由，an+1-an=（n∈N*），
当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-1-an-2）+（an-an-1）=，①，②
①-②，得，
∴．
又n=1时，a1=适合上式，
∴（n∈N*）．